На
главную страницу
Метод наименьших квадратов
Пусть имеется набор значений yi, каждое из которых соответствует некоторому
моменту времени ti (i = 1,2,…,N). Требуется найти зависимость y = f(t)
при условии, что сумма квадратов отклонений точки кривой от соответствующей точки
yi является минимальной в классе аппроксимирующих функций. Т.е.
(1) Σ (f(ti)
– yi)2 → min
Будем искать решение в классе линейных функций (прямая): y = at + b. Тогда условие
(1) можно записать в следующем виде
Σ (a*ti +b – yi)2
→
min
Необходимым условием существования минимума является равенство нулю двух частных
производных по a и b соответственно:
Σ ((a*ti +b – yi)*ti)
=0
Σ (a*ti +b – yi)
= 0
В обозначениях
Σ (ti*ti) = stt
Σ (yi*ti) = syt
Σ (ti) = st
Σ (yi) = sy
систему можно переписать в виде
a*stt + b*st – syt = 0
a*st +b*N – sy = 0
Решая эту систему двух линейных уравнений относительно a и b,
получим
a = (syt*N – sy*st)/(N*stt – st*st)
b = (stt*sy – syt*st)/(N*stt – st*st)
На главную страницу